Vấn đề chéo hoá ma trận - huynumnguyen - WordPress.com

Chéo hóa ma trận là gì

Video Chéo hóa ma trận là gì

Đặt câu hỏi

Có một bài toán: Cho V là không gian vector hữu hạn, $T:V\to V$ là một toán tử tuyến tính trên V. Ta đã biết ma trận của T phụ thuộc cơ sở chọn trong V. Ta mong muốn có một cơ sở sao cho ma trận của T có dạng đơn giản như dạng chéo chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là một ma trận chéo?

Câu 2: Giả định tương tự. Hỏi có tồn tại một cơ sở trực giao trong v sao cho ma trận của t chéo với cơ sở đó hay không?

Giải pháp

Giả sử A là ma trận của T đối với cơ sở xác định nào đó trong V. Ta xét một phép đổi cơ sở. Theo định lý ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép biến đổi cơ sở thì ma trận mới của T sẽ là $P^{-1}AP$ trong đó P là ma trận đổi cơ sở.

Vì vậy, câu hỏi đầu tiên tương đương với câu hỏi sau: có tồn tại phép biến đổi cơ sở sao cho ma trận mới của t chéo với cơ sở mới không?

Nếu V là một không gian có tích vô hướng và những cơ sở là trực chuẩn thì theo định lý “Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn mới thì nó trực giao, tức là $P^tP=I$ trong đó P^t là ma trận chuyển vị, I là ma trận đơn vị, do đó $P^{-1}=P^t$ “, P là trực giao.

Định nghĩa

Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao cho $P^{-1}AP$ là ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hoá được hay P chéo hoá cho A. Như vậy A chéo hoá được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo.

Giải pháp chéo hóa ma trận

Giả sử a là ma trận vuông cấp n (n số nguyên dương). Điều kiện cần và đủ để a chéo hóa là nó có các vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Cho a chéo hóa được, tức là tồn tại p khả nghịch

$P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mn} \end{bmatrix}$ ,

sao cho $P^{-1}AP=D$ , với

$D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & &\\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$ .

Ta coi ap = pd.

Gọi $p_1,p_2,...,p_n$ là các vectơ cột của P, ta thấy các cột liên tiếp của AP là $Ap_1,Ap_2,...,Ap_2$ . Đồng thời

$PD = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1p_{11} & \lambda_2p_{12} & \cdots & \lambda_np_1n \\ \lambda_1p_{21} & \lambda_2p_{22} & \cdots & \lambda_np_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \lambda_1p_{1n} & \lambda_2p_{n2} & \cdots & \lambda_2p_{nn} \end{bmatrix}$

Vậy phương trình ap = pd hiển thị

$Ap_1 = \lambda_1p_1, Ap_2 = \lambda_2p_2,...,Ap_n=\lambda_np_n$

Vì P khả đảo nên các vectơ $p_i\ne\vec{0}$ do đó $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ là các trị riêng của A và $p_1,p_2,...,p_n$ là các vectơ riêng tương ứng.

Cũng do P khả đảo nên định thức của nó khác 0 và các vectơ $p_1,p_2,...,p_n$ độc lập tuyến tính.

Vì vậy, khi a chéo hóa được, nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Quá trình chéo hóa một ma trận

B1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A: $p_1,p_2,...,p_n$

b2: Tạo ma trận p với mảng vectơ ở trên làm cột

B3: Ma trận $P^{-1}AP$ sẽ là ma trận chéo với $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ là các phần tử chéo liên tiếp, trong đó $\lambda_i$ là các trị riêng ứng $p_i$ , i = 1,2,…,n.

Đường chéo hóa ma trận có n giá trị riêng khác nhau

Lý thuyết

Nếu ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng tương ứng khác nhau thì a có thể chéo hóa được.

Vấn đề chéo hoá ma trận – huynumnguyen – WordPress.com

Ngày 2 Tháng 2 Groundhog Day Là Gì, Groundhog Day Nghĩa Là Gì

Đơn Vị W/M Là Gì – Cách Tính Giá Cước Vận Tải Quốc Tế

thptnguyenthidieu edu.vn

Bài viết mới

Bình Luận Nhiều

Cây sen thơm: Ý nghĩa, hình ảnh, cách trồng, chăm sóc tại nhà

Thể thơ Thất ngôn tứ tuyệt

Top stt tán gái hay đỉnh cao, thả thính auto đổ để thoát ế

Hướng dẫn và ví dụ về công thức mảng

99 STT Thiên Nhiên, Những câu nói hay về cảnh đẹp, phong cảnh

Mục lục